물리학 질의응답

용수철운동에서여

변위를 x
복원력을 -kx
제동력을 -cx'(여기서 프라임은 미분을 의미함.다들아시죠)
이라 두면 운동 방정식은

mx"+cx'+kx=0 이란 식이 나오죠,그리고 양변을 m으로나누면
x"+(c/m)x'+(k/m)x=0 이란식이 다시 나오죠

근데 여기서 문제예여
미분연산자(d/dt)를 D 로나타내면
윗식은
[D^2 + (c/m)D + k/m]x = 0
이란 식을 얻거든요

이걸 다시 그라니깐 연산자항을 인수분해해서
[D + (c/2m) - {(c^2/4m^2)-k/m}^1/2][D + (c/2m) + {(c^2/4m^2)-k/m}^1/2]x = 0 이란 식을 다시 얻는데.

이식의 일반풀이해가 1계 미분방정식에서 얻는 풀이의 합이 된다는데...왜그런지 이해가 잘안되네요.

참고로 윗식의 해는
x(t)=Ae^-(r-q)t + Be^-(r+q)t 이네요.

r=c/2m
q=(c^2/4m^2 - k/m)^1/2

아시는분 없는가여...넘 어려워..
그라고 왜해가 expotentail 함수로 나타내지는가도 몰르겠네여..

라플라스 방정식이 대체 무었을 의미 하는지..잘 모르겠어요...^^;;
..
1변수 일땐..그냥..일차 방정식..즉..기울기가 일정한 경우를..말하는 거구..
2변수 일땐.. x 와 y의 함수가..일차 방정식.즉..기울기가 일정하면..두변 편미분 했을대.. x,y모두..제로가 나오니깐..값을 만족 하겠군요..기울기가..일정하게 편하는..즉.역학으로..말하면..등가속이면..되겠군요..서로 방향은 반대구....그래야.,..두변 편미분 하면..
..서로 반대값의 상수가 나와서..0가 될테니깐요..
..
그럼..3변수인..3차원일땐..어떻게 해석 해야 하나요?
..
3변수일경우엔..수학적 의미도 잘 모르겟거니와..
..
물리적...의미를..해석할땐..1변수건...2변수건..잘 이해가 가질 않더군요...^^;;
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라플라스 방정식을..만족하는..경우는..아주 특별한 경우 일텐데...언제..이 방정식을 쓰는거죠??..
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수리물리에 여러가의..경우에 나와 있던데요..
..
..먼저..사각판에서의..정상상태 온도..
..
근데..여기서 정상상태란..무었을 의미 하는거죠?
..
시간에 따라 변하지 않는다는 건가??
..
^^;

직사각형의..세변은...0이고..나머지..밑변은...100도 이다
...
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근데..사각형 내부에...열원이 없으므로..라플라스 방정식을..만족한다??
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.
무엇을 의미 하는건지??^^;;..
..
x방향으로.기울기가.일정하게 증가하면(역학으로 말하면..등가속..^^;).. y방향으로..일정하게 감소 해야 하는건데..?..왜 이게 라플라스 방정식을..만족 하는지 모르겠군요..밑변을.. x로 잡는다면..x축 내에선..온도가 변할 이유가 없을것 같은데??^^;;
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글구...0도씨의...판과...100도씨의..판을 접촉 시키면..
..곧...100도씨판에서..0도씨 판쪽으로..온도가 흘러야 하는거 아닌가요??..근데..무슨..경계값이니..뭐니 하는거죠?
..
아님..온도가 흐리지 않는 다는..전제하에서??말도 않될것 같은데요..
그럼..100도씨의..온도가..시간에 따라..온도가 내려가면..
그 경계값을..100도로 잡을수가 없잖아요?
..아님..외부에서..일정하게..100도씨로 유지 시켜 준다는 소린가??..^^;
..
그리고..결과엔..온도가..시간에 무관하게...답이 나온던데
어떻게 이럴수가 있죠??^^;;
당연히..시간이 흐르면..온도가 변해야 하는거 아닌가??
laplace 방정식은 상당히 광범위하게 응용됩니다. 우선은

flow source를 갖고 보존이 되는 vector field에서 potential을

나타내는 방정식으로 볼 수 있습니다. 이런 field는 전기장이

대표적이겠지요. 그리고 역학적으로도 표면의 진동등을

표시할 때 라플라스 방정식을 쓰는 것으로 알고 있습니다.

 

우선, 손쉬운 전기장으로 설명을 하겠습니다.

전기장의 경우는 poisson 방정식으로 알려져 있습니다.

라플라스 방정식은 공간상에 전하의 분포가 전혀 없을때로

poisson방정식의 한 특수한 경우입니다. 공간에 전하가 없다고

하면 이 라플라스 방정식은 포텐셜의 2계 공간미분은 0 이다.가

됩니다. 일차원 일때는 그냥 일차 함수가 됩니다. 이 경우의

예는 평행판 축전기 사이의 전압분포가 되겠지요.

2차원일때는 좀 더 복잡해집니다. 변수분리법으로 이 미분방정식을

풀어보면 sin 함수와 exponential함수 의 곱으로 표현됩을

알 수 있습니다. 이 경우의 예는 평행판 축전기의 옆면으로

다른 축전기가 놓여있는 경우 이 사각형의 등전위면 내부의

전압분포를 표현하는 식이 됩니다. 3변수 3차원인 경우도 역시

변수분리법으로 미분방정식을 풀어보면 역시 sin(혹은 cos)과

exp, sinh, cosh등이 3개가 곱해진 형태를 갖습니다. 이 경우의

예는 정사면체 내부의 전압분포로 볼 수 있습니다.

님이 말하신 사각판 내부의 온도 분포의 경우 온도를 potential로

갖는 장에서 flow source인 열원이 없으면 라플라스 방정식이

됩니다. 그리고 이 문제는 어느 특정 순간 사각형 내부의

온도분포를 구하라는 문제입니다. 그리고 2차원 문제이구요.

라플라스 미분방정식을 풀어보면 0도의 판과 0도의 판사이는

아마도 sin함수를 이룹니다. 그리고 또 다른 0도의 판과 100도의

판사이는 100도에서 0도로 sinh함수 형태로 감소합니다.

그래서 아마도 답은 T(x,y) = Csin(kx)sinh(ky)의 형태를

갖게 됩니다. 아니면 급수형태일 수도 있습니다.

결국 라플라스 방정식이란 경계 조건만을 갖고서 포텐셜의

분포를 나타내는 방정식이라고 볼 수 있습니다. 아..
태준님..오랜 만이군요..ㅋㅋㅋ.
..
일단...고맙구요..
왜...flow source..가 .없을때에..라플라스 방정식이 만족 된다고 할수 있죠??..수학적으로나,물리적으로..좀더..구체적..이유를..알순 없나요?..
..
전자기던..열역학이던...
..경계값이..시간에 따라 변하지 않는다는 건가요?..
..경계값이..특정 온도나..전위를..갖도록..외부에서..일정하도록...유지 시켜 준다는건가??^^;
.
온도는..당연히..시간이 지나면..낮은 쪽으로 흐르게 마련이고..전하도...그럴텐데....
..
라플라스 방정식엔..시간에 대해선..아무 언급이 없어요..
..시간이..지나면...온도나 전하가..평준화 되면서...곙계값이란게..없어져야 하는거 아닌가요?.
..
특정 시간이라고 했는데...아에 시간에 관해서..방정식엔 아무런..식조차 들어 있지 않던데요..
어떻게...위치만이...변수가 되고...시간은 아예 빠져 있을수 있는지..^^;;
poisson 방정식은 전자기학에는 라플라스 방정식을 포함하는

일반적인 방정식입니다.

∇ㆍE = ρ/ε -----------(1)

E = -∇V -----------(2)

1,2를 연립하면 ∇ㆍ(∇V) = -ρ/ε 이것이 바로 poisson방정식입니다.

포텐셜을 구하고자 하는 공간에 전하가 존재하지 않는다면

전하밀도 ρ가 0 이 되어서 poisson 방정식의 우변이 0 이됩니다.

이는 ∇ㆍ(∇V) = 0 이 되어서 바로 라플라스 방정식이됩니다.

온도의 분포도 같은 방식으로 적용이 되겠지요. 온도를 포텐셜로 보면

열을 방출하는 열원이 전하에 해당하니까 온도 분포를 구하려는

공간에 열원이 없다면 라플라스 방정식으로 온도 분포를 구할 수 있습니다.

그리고 제가 아래쓴 글이 좀 틀렸네요. 특정 시간에서의 온도 분포가

아니고 두 판의 온도를 일정하게 유지시키주는 경우에 해당합니다.

즉, 경계값을 일정하게 유지시켜주는 경우입니다.

거기서..
광자랑..전자랑..충돌한후..
광자의 진동수는..작아지겠죠...
...그럼...전자도 충격량을 받아...가속하겠죠..
,.그 후에...전자도 빛을 내야 하는거 아닌가요??.. 왜 이에 대해선 아무런 언급이 업쥐??--+

..전자가..어느 궤도 에 있으며..얼마 만큼의..에너지를 받아...어떤 에너지 준위에 있는지도..않나와 있고..

^^??..
..글구...또한...
어떻게..광자나 전자의..운동량을 구하는지 모르겠어요..
..전자가 어디에 있는지도 모른텐데..어떻게 전자를 쏴서 맞추는지..^^;;;..
.
글구..운동량은..어떻게 구한는거지??
..전자의..위치를 알기위해서..파장을 짧게..하면..
즉..큰 에너지를 갖는..광자를..쏘면..운동량이..불확실해 지는거 아닌가요?
..(혹시.제가..아인슈티인의 잘못을 되풀이 하는건가?-.-;;;)
..
이거 꼭 마치..불확정성의..원리를 위배 하는것 처럼 보이기도 하는데..^^;;..
..
음..전자를 맞출려면..아무래도..따로 떼어 내야 할것 같은 데요....
,..그럼...핵과 분리된 상태...즉..궤도가..상당히 커진 샅태 이니깐......
..그럼 이경우엔..보어의 대응원리써...
당연히..고전론에 해당하니깐...전자가 가속하면..빛을 내야 하는거 아닌가요??--;;..
..
음..그럼..금속 표면의 자유 전자일 경우엔 어떻게 하죠?..
..이 전자들은...가속 않하고 등속으로 움직이나??..
..그럼..금속면..전체가..등전위 인가??등전위 인데도..움직일수 있나??..
아님..얘네들도..빛을 내야 하는거 아닌가??..ㅡ,.ㅡ;;
..이건..페르미 전자기체인가..먼가로..접급해야 한는건가?..
현대물리 에서 봤긴 봣는데....언제 본건지도..^^;;.